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Höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Mengen • komplexe Zahlen • Abbildungen und Funktionen komplexe Zahlenmengen • komplexe Funktionen

T h e m e n ü b e r s i c h t Grundstudium (Höhere Mathematik I)   I.  Mengen   Darstellung von Mengen   Vereinigung, Durchschnitt, Differenz und Komplement von Mengen   Beispiele, Übungs- und klausurtypische Aufgaben   II. Komplexe Zahlen   Normalform komplexer Zahlen und Definitionen   Winkelmaße und Periodizität   Polarkoordinatendarstellung komplexer Zahlen   Wurzeln komplexer Zahlen   Potenzen komplexer Zahlen (Formel von Moivre)   Beispiele, Übungs- und klausurtypische Aufgaben   III. Ungleichungen   Nullstellenbestimmung und Faktorisierung   Ungleichungen - Bestimmung der Lösungsmenge   Betragsungleichungen   Beispiele, Übungs- und klausurtypische Aufgaben   IV. Abbildungen und Funktionen   Terminologie   Die Grundfunktionen in der Höheren Mathematik I   Verknüpfung von Funktionen   Skizzieren von Funktionsgrahen   Bestimmung des Definitionsbereichs   Eigenschaften von Funktionen   Bestimmung des Bildes einer Menge und des Bildbereichs   Bestimmung von Urbildern und Urbildmengen   Methodenübersicht   Beispiele, Übungs- und klausurtypische Aufgaben   V.  Komplexe Zahlenmengen   Die Grundmengen   Zurückführung von Zahlenmengen auf die Grundmengen   Beispiele, Übungs- und klausurtypische Aufgaben   VI. Komplexe Funktionen   Betrag, Real- und Imaginärteil komplexer Funktionen   Eigenschaften komplexer Funktionen   Komplexe Polynome   Beispiele, Übungs- und klausurtypische Aufgaben

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Höhere Mathematik: Die Bezeichnung Höhere Mathematik kommt aus dem Sprachgebrauch der Hochschulen und wird als Komplement einerseits zur Elementarmathematik des mittleren Bildungsweges, andererseits zur universitären Mathematik verstanden. Sie umfasst (ohne scharf definiert zu sein) jene Teilgebiete der Mathematik, die als mathematische Grundlagen in den natur- und ingenieurwissenschaftlichen Studienrichtungen der Hochschulen gelehrt werden, aber nur ¨berblicksweise an Mittelschulen. Im Gegensatz zu den tiefer gehenden Inhalten des Mathematikstudiums und der mathematischen Forschung liegt hier die Betonung mehr auf dem praktischen Bezug. Umfang und Grad der Abstraktion variieren jedoch zwischen den einzelnen Hochschulen.
Bedeutung: Die Höhere Mathematik gilt als „Sprache" der Fachwissenschaften zur Beschreibung von naturgesetzlichen Vorgängen in der Umwelt und als vorzügliches Mittel, um das exakte Denken zu schulen. Daher steht sie in Hochschulstudiengängen traditionell am Beginn des Curriculums - in bestimmten Hochschulstudiengängen werden unterschiedliche Teile ausgelassen oder als spätere Vertiefung angeboten.
Gliederung: Welche Teilgebiete der Mathematik zum allgemeinen Lehrangebot der Universitäten gehören, ist regional und auch infolge der wissenschaftlichen Entwicklung unterschiedlich. Beispielsweise gliederte sich ca. 1980 das Vieweg-Handbuch "Höhere Mathematik" folgendermaßen:
 • Analytische Geometrie in der Ebene und im Raum
 • Grundbegriffe der mathematischen Analysis
 • Differentialrechnung und Integralrechnung
 • Ebene und räumliche Kurven
 • Unendliche Reihen
 • Differential- und Integralrechnung für Funktionen mehrerer Variablen
 • Differentialgleichungen
 • Funktionentheorie
 • Teile der Funktionalanalysis wie die Fourier-Analysis
 • Vektoranalysis
Dazu kämen heute im Allgemeinen Kapitel über lineare Algebra (Vektoren und Matrizen), grundlegende Verfahren der Numerik, Kenntnisse aus deskriptiver und induktiver Statistik sowie evtl. eine Einführung in Computeralgebrasysteme.

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I.  Mengen

=> Darstellung von Mengen
=> Vereinigung, Durchschnitt, Differenz und Komplement von Mengen
=> Beispiele, Übungs- und klausurtypische Aufgaben


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II. Komplexe Zahlen

=> Normalform komplexer Zahlen und Definitionen
 * Rechnen mit komplexen Zahlen in Normalform

=> Winkelmaße und Periodizität
 * Grad- und Bogenmaß
 * Periodizität trigonometrischer Funktionen

=> Polarkoordinatendarstellung komplexer Zahlen
 * Umrechnung Polarkoordinatendarstellung => Normalform
 * Umrechnung Normalform => Polarkoordinatendarstellung
 * Rechnen mit komplexen Zahlen in Polarkoordinatendarstellung

=> Wurzeln komplexer Zahlen
=> Potenzen komplexer Zahlen (Formel von Moivre)

=> Beispiele, Übungs- und klausurtypische Aufgaben


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III. Ungleichungen

=> Nullstellenbestimmung und Faktorisierung
 * Hilfsmittel 1: Die pq-Formel
 * Hilfsmittel 2: Polynomdivision
 * Hilfsmittel 3: Das Horner-Schema
 * Trick 1 bei der Nullstellenbestimmung / Faktorisierung von Polynomen:
x ausklammern - falls möglich
 * Trick 2 bei der Nullstellenbestimmung / Faktorisierung von Polynomen:
Substitution - falls möglich
 * Trick 3 bei der Nullstellenbestimmung / Faktorisierung von Polynomen:
Verwendung von binomischer Formeln - falls möglich

=> Ungleichungen - Bestimmung der Lösungsmenge
 * Ungleichungen mit (affin) linearen Funktionen
 * Ungleichungen mit quadratischen Funktionen
 * Ungleichungen mit Polynomfunktionen höheren Grades

=> Betragsungleichungen
 * Betragsungleichungen mit (affin) linearen Funktionen
 * Betragsungleichungen mit quadratischen Funktionen

=> Beispiele, Übungs- und klausurtypische Aufgaben


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IV. Abbildungen und Funktionen

=> Terminologie
=> Die Grundfunktionen in der Höheren Mathematik I
=> Verknüpfung von Funktionen
=> Die Skizzieren von Funktionsgrahen

=> Die Bestimmung des Definitionsbereichs
=> Eigenschaften von Funktionen
 * Linearität
 * Stetigkeit
 * Monotonie
 * Injektiv, surjektiv, bijektiv
 * Umkehrbarkeit und Berechnung der Umkehrabbildung / Umkehrfunktion

=> Bestimmung des Bildes einer Menge und des Bildbereichs
=> Bestimmung von Urbildern und Urbildmengen
=> Methodenübersicht

=> Beispiele, Übungs- und klausurtypische Aufgaben


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V.  Komplexe Zahlenmengen

=> Die Grundmengen
=> Zurückführung von Zahlenmengen auf die Grundmengen
 * Behandlung komplexer Zahlenmengen

=> Beispiele, Übungs- und klausurtypische Aufgaben


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VI. Komplexe Funktionen

=> Betrag, Real- und Imaginärteil komplexer Funktionen
=> Eigenschaften komplexer Funktionen
 * Linearität
 * Injektivität, Surjektivität, Bijektivität
 * Weitere Eigenschaften

=> Komplexe Polynome
=> Beispiele, Übungs- und klausurtypische Aufgaben


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Für weitere Informationen:
Ihr Ansprechpartner
Wolfgang Knell

 Telefon: 0 25 21 / 85 78 94 5
 Telefon: 0 25 21 / 85 78 94 3
 Telefax:  0 25 21 / 85 78 94 4
     Mobil:        01 52 / 27 28 60 73

  wolfgang.knell@gmail.com

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" Manche meinen, sie seien liberal geworden,
nur weil sie die Richtung ihrer Intoleranz geändert haben. "
Wieslaw Brudzinski

 

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