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Einführung in die  angewandte Wirtschaftsmathematik

T h e m e n ü b e r s i c h t   I.  Grundlagen und Hilfsmittel   Mengen und Aussagen   Arithmetrik im Bereich der reellen Zahlen   Aufgaben   II. Funktionen einer unabhängigen Variablen   Begriffe und Darstellung von Funktionen   Eigenschaften von Funktionen   Elementare Typen von Funktionen   Iterative Gleichungslösung und Nullstellenbestimmung (Regula falsi)   Beispiele ökonomischer Funktionen   Aufgaben   III. Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen   Begriff von Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen   Darstellung einer Funktion mit mehreren unabhängigen Variablen   Homogenität von Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen   IV. Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen   Der Grenzwertbegriff   Grenzwerte spezieller Funktionen   Die Grenzwertsätze und ihre Anwendungen   Der Stetigkeitsbegriff   Unstetigkeitstypen   Stetigkeitsanalyse   Stetigkeit ökonomischer Funktionen   Asymptoten   Aufgaben   V.  Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen  -  Grundlagen und Technik   Grundlagen der Differentialrechnung   Technik des Differenzierens   Grenzwerte bei unbestimmten Ausdrücken - Regeln von de L´Hôspital   Newton-Verfahren zur näherungsweisen Ermittlung von Nullstellen einer Funktion   Aufgaben   VI. Anwendungen der Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen   Zur ökonomischen Interpretation der ersten Ableitung   Anwendung der Differentialrechnung auf die Untersuchung von Funktionen   Die Anwendung der Differentialrechnung auf ökonomische Probleme   Aufgaben   VII. Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen   Grundlagen   Extrema bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen   Beispiele für die Anwendung der Differentialrechnung auf ökonomische Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen   Aufgaben   VIII. Einführung in die Integralrechnung   Das unbestimmte Integral   Das bestimmte Integral   Beziehungen zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral   Spezielle Integrationstechniken   Ökonomische Anwendungen bei der Integralrechnung   Elementare Differentialgleichungen   Aufgaben   IX. Einführung in die Lineare Algebra   Matrizen und Vektoren   Lineare Gleichungssysteme (LGS)   Aufgaben   X.  Lineare Optimierung (LO)   Grundlagen und graphische Lösungsmethode   Simplexverfahren   Zweiphasenmethode zur Lösung beliebiger LO-Probleme   Sonderfälle bei LO-Problemen   Die ökonomische Interpretation des optimalen Simplextableaus   Dualität   Ökonomische Interpretation des Dualproblems   Aufgaben   XI. Testklausuren

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meinungsprägenden Medien kein ausreichend kritisches Meinungspotential mehr erkennen."
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Ein wirtschaftswissenschaftliches Studium ist heutzutage ohne Mathematik (als Hilfswissenschaft) undenkbar, mathematische Beschreibungs-, Erklärungs- und Optimierungs-Modelle beherrschen große Teile der ökonomischen Theorie und in zunehmendem Maße auch der ökonomischen Praxis.
Mathematik in diesem Zusammenhang bedeutet einerseits das Problem, mathematische Ideen zu verstehen, um die dazugehörigen Techniken zu beherrschen und andererseits, diese zunächst abstrakten Techniken zielgerichtet und sinnvoll für ökonomschische Anwendungen nutzbar zu machen. …
Diese Einführung soll als Zielgruppen Studierende der Wirtschaftswissenschaften, Finanz- und Wirtschaftsmathematik an Fachhochschulen und Universitäten, aber auch den Praktiker in der Wirtschaft ein solides Verständnis und die sichere Beherrschung des wirtschaftsmathematischen Instrumenariums und seiner ökonomischen Anwendung ermöglichen.

I.  Grundlagen und Hilfsmittel

=> Mengen und Aussagen
 * Mengenbegriff
 * Spezielle Zahlenmengen
 * Aussagen und Aussageformen
 * Verknüpfungen von Aussagen und Aussageformen
 ~ Konjunktion
 ~ Disjunktion
 ~ Negation
 ~ Zusammengesetzte Aussagen
 * Folgerung (Implikation) und Äquivalenz
 ~ Folgerung (Implikation)
 ~ Äquivalenz
 * Relationen zwischen Mengen
 ~ Gleichheit zweier Mengen
 ~ Teilmengen
 * Verknüpfungen (Operationen) mit Mengen
 ~ Durchnittsmenge
 ~ Vereinigungsmenge
 ~ Restmengen (Differenzmenge)
 * Paarmengen, Produktmengen

=> Arithmetrik im Bereich der reellen Zahlen
 * Grundregeln (Axiome) und elementare Rechenregeln für reelle Zahlen (IR)
 ~ Axiome
 ~ Elementare Rechenregel für reelle Zahlen
 ~ Betrag einer Zahl
 ~ Das Summenzeichen
 ~ Das Produktzeichen
 ~ Fakultät und Binomialkoeffizent
 * Potenzen
 ~ Potenzen mit natürlichen Exponenten
 ~ Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
 ~ Potenzen mit rationalen (gebrochenen) Exponenten; Wurzeln
 ~ Potenzen mit reellen Exponenten
 * Logarithmen
 ~ Begriff des Logarithmus
 ~ Logarithmenbasen
 ~ Rechenregeln für Logarithmen
 ~ Logarithmen zu beliebiger Basis
 * Gleichungen
 ~ Allgemeines über Gleichungen und deren Lösungen
 ~ Äquivalenzumformungen
 ~ Lineare Gleichungen ax + b = cx + d
 ~ Lineare Gleichungssysteme (LGS)
 ~ Quadratische Gleichungen ax² + bx + c = 0
 ~ Gleichungen höheren als zweiten Grades
 ~ Wurzelgleichungen
 ~ Exponentialgleichungen
 ~ Logarithmengleichungen
 ~ Bruchgleichungen
 * Ungleichungen
 * Wo steckt der Fehler?
 ~ Fehler bei Termumformungen
 ~ Fehler bei der Lösung von Gleichungen
 ~ Fehler bei der Lösung von Ungleichungen

=> Aufgaben und Berechnungsbeipiele
 * Grundlagen und Hilfsmittel


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Der zweiteilige, kostenlose Online-Brückenkurs ist für alle angehenden StudentInnen gedacht,
deren Universitätsstudium das Fach Mathematik einschließt, ....
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II. Funktionen einer unabhängigen Variablen

=> Begriff und Darstellung von Funktionen
 * Funktionsbegriff
 * Graphische Darstellung von Funktionen
 * Abschnittsweise definierte Funktionen
 * Umkehrfunktionen
 * Implizite Funktionen
 * Verkettete Funktionen

=> Eigenschaften von Funktionen
 * Beschränkte Funktionen
 * Montone Funktionen
 * Symmetrische Funktionen
 * Nullstellen von Funktionen

=> Elementare Typen von Funktionen
 * Ganzrationale Funktionen (Polynome)
 ~ Grundbegriffe, Horner-Schema
 ~ Konstante und lineare Funktionen
 ~ Quadratische Funktionen
 ~ Nullstellen von Polynomen und Polynomzerlegung
 * Gebrochen-rationale Funktionen
 * Algebraische Funktionen (Wurzelfunktionen)
 * Exponentialfunktionen
 * Logarithmusfunktionen
 * Trigonometrische Funktionen (Kreisfunktionen, Winkelfunktionen)

=> Iterative Gleichungslösung und Nullstellenbestimmung (Regula falsi)
=> Beispiele ökonomischer Funktionen

=> Aufgaben und Berechnungsbeipiele
 * Funktionen einer unabhängigen Variablen


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III. Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

=> Begriff von Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen
=> Darstellung einer Funktion mit mehreren unabhängigen Variablen

=> Homogenität von Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen
=> Aufgaben und Berechnungsbeipiele
 * Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen


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IV. Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen

=> Der Grenzwertbegriff
 ~ Grenzwerte von Funktionen für x => x₀
 ~ Grenzwerte von Funktionen für x => ∞ (bzw. x => -∞)
=> Grenzwerte spezieller Funktionen

=> Die Grenzwertsätze und ihre Anwendungen
=> Der Stetigkeitsbegriff

=> Unstetigkeitstypen
=> Stetigkeitsanalyse

=> Stetigkeit ökonomischer Funktionen
=> Asymptoten

=> Aufgaben und Berechnungsbeipiele
 * Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen


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Themen: Differentialrechnung, Integralrechnung, Komplexe Zahlen, ....
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V.  Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

=> Grundlagen der Differentialrechnung
 * Problemstellung
 * Durchschnittliche Funktionssteigung (Sekantensteigung) und Differenzenquotient
 * Steigung und Ableitung einer Funktion (Differentialquotient)
 * Differenzierbarkeit und Stetigkeit
=> Technik des Differenzierens
 * Die Ableitung der Grundfunktionen
 ~ Ableitung der konstanten Funktion f(x) = C
 ~ Ableitung der Potenzfunktion f(x) = xⁿ
 ~ Ableitung der Exponentialfunktion f(x) = e^x
 ~ Ableitung der Logarithmusfunktion f(x) = ln x
 * Ableitungsregeln
 ~ Faktorregel
 ~ Summenregel
 ~ Produktregel
 ~ Quotientenregel
 ~ Kettenregel
 * Ergänzungen zur Ableitungstechnik
 ~ Ableitung der Umkehrfunktion
 ~ Ableitung allgemeiner Exponential- und Logarithmusfunktionen
 ~ Logarithmische Ableitung
 * Höhere Ableitungen
 * Zusammenfassung der wichtigsten Differentiationsregeln

=> Grenzwerte bei unbestimmten Ausdrücken - Regeln von de L´Hôspital
=> Newton-Verfahren zur näherungsweisen Ermittlung von Nullstellen einer Funktion

=> Aufgaben und Berechnungsbeipiele
 * Differentialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen


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VI. Anwendungen der Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen

=> Zur ökonomischen Interpretation der ersten Ableitung
 * Das Differential einer Funktion
 * Die Interpretation der 1. Ableitung als (ökonomische) Grenzfunktion
 ~ Grenzkosten
 ~ Grenzerlös (Grenzumsatz, Grenzausgaben)
 ~ Grenzproduktivität (Grenzertrag)
 ~ Grenzgewinn
 ~ Marginale Konsumquote
 ~ Marginale Sparquote
 ~ Grenzrate der Substitution
 ~ Grenzfunktion und Durchschnittsfunktion

=> Anwendung der Differentialrechnung auf die Untersuchung von Funktionen
 * Monotonie- und Krümmungsverhalten
 * Extremwerte
 * Wendepunkte
 * Kurvendiskussion
 * Extremwerte bei nichtdifferenzierbaren Funktionen

=> Die Anwendung der Differentialrechnung auf ökonomische Probleme
 * Beschreibung ökonomischer Prozesse mit Hilfe von Ableitungen
 ~ Beschreibung des Wachstumsverhaltens ökonomischer Funktionen
 ~ Konstruktion ökonomischer Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften
 * Analyse und Optimierung ökonomischer Funktionen
 ~ Fahrstrahlanalyse
 ~ Diskussion ökonomischer Funktionen
 ~ Gewinnmaximierung
 ~ Gewinnmaximierung bei doppelt-geknickter Preis-Absatz-Funktion
 ~ Optimale Lagerhaltung
 * Die Elastizität ökonomischer Funktionen
 ~ Änderungen von Funktionen
 ~ Begriff, Bedeutung und Berechnung der Elastizität ökonomischer Funktionen
 ~ Elastizität ökonomischer Funktionen
 ~ Graphische Ermittlung der Elastizität
 * Überprüfung ökonomischer Gesetzmäßigkeiten mit Hilfe der Differentialrechnung

=> Aufgaben und Berechnungsbeipiele
 * Anwendungen der Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen


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VII. Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

=> Grundlagen
 * Begriff und Berechnung von partiellen Ableitungen
 * Ökonomische Interpretation partieller Ableitungen
 * Partielle Ableitung höherer Ordnung
 * Kennzeichnung von Monotonie und Krümmung durch partielle Ableitungen
 * Partielles und vollständiges (totales) Differential
 * Kettenregel, totale Ableitung
 * Ableitung impliizierter Funktionen

=> Extrema bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen
 * Relative Extrema ohne Nebenbedingungen
 * Extremwerte unter Nebenbedingungen
 ~ Problemstellung
 ~ Variablensubstitution
 ~ Lagrange-Methode

=> Beispiele für die Anwendung der Differentialrechnung auf ökonomische Funktionen mit mehreren
unabhängigen Variablen
 * Partielle Elastizitäten
 ~ Begriff der partiellen Elastizität
 ~ Die Eulersche Homogenitätsrelation
 ~ Elastizität homogener Funktionen
 ~ Faktorentlohnung und Verteilung des Produktes
 * Ökonomische Beispiele für relative Extrema (ohne Nebenbedingungen)
 ~ Optimaler Faktoreinsatz in der Produktion
 ~ Gewinnmaximierung von Mehrproduktunternehmungen
 ~ Gewinnmaximierung bei räumlicher Preisdifferenzierung
 ~ Die Methode der kleinsten Quadrate
 * Ökonomische Beispiele für Extrema unter Nebenbedingungen
 ~ Minimalkostenkombination
 ~ Expansionspfad, Faktornachfrage- und Gesamtkostenfunktion
 ~ Nutzenmaximierung und Haushaltsoptimum
 ~ Nutzenmaximale Güternachfrage- und Konsumfunktionen

=> Aufgaben und Berechnungsbeipiele
 * Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen


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VIII. Einführung in die Integralrechnung

=> Das unbestimmte Integral
 * Stammfunktion und unbestimmtes Integral
 * Grundintegrale
 * Elementare Rechenregeln für das unbestimmte Integral
=> Das bestimmte Integral
 * Das Flächeninhaltsproblem und der Begriff des bestimmten Integrals
 * Beispiel zur elementaren Berechnung eines bestimmten Integrals
 * Elementare Eigenschaften des bestimmten Integrals

=> Beziehungen zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral
 * Integralfunktion
 * Der 1. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
 * Der 2. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
 * Flächeninhaltsberechnung
=> Spezielle Integrationstechniken
 * Partielle Integration
 * Integration durch Substitution

=> Ökonomische Anwendungen bei der Integralrechnung
 * Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen
 * Die Konsumentenrente
 * Die Produzentenrente
 * Kontinuierliche Zahlungsströme
 * Kapitalstock und Investitionen einer Volkswirtschaft
 * Optimale Nutzungsdauer von Investitionen
=> Elementare Differentialgleichungen
 * Einleitung
 * Lösung von Differentialgleichungen durch Trennung der Variablen
 * Ökonomische Anwendungen separabler Differentialgleichungen
 ~ Exponentielles Wachstum
 ~ Funktionen mit vorgegebener Elastizität
 ~ Neoklassisches Wachstumsmodell nach Solow

=> Aufgaben und Berechnungsbeipiele
 * Einführung in die Integralrechnung


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IX. Einführung in die Lineare Algebra

=> Matrizen und Vektoren
 * Grundbegriffe der Matrizenrechnung
 * Spezielle Matrizen und Vektoren
 * Operationen mit Matrizen
 ~ Addition von Matrizen
 ~ Multiplikation einer Matrix mit einem Skalarfaktor
 ~ Die skalare Multiplikation zweier Vektoren (Skalarprodukt)
 ~ Multiplikation von Matrizen
 * Die inverse Matrix
 * Ökonomisches Anwendungsbeispiel (Input-Output-Analyse)

=> Lineare Gleichungssysteme (LGS)
 * Grundbegriffe
 * Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme - Gaußscher Algorithmus
 * Pivotisieren
 * Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme
 * Berechnung der Inversen einer Matrix
 * Ökonomische Anwendungsbeispiele für lineare Gleichungssysteme
 ~ Teilebedarfsrechnung, Stücklistenauflösung
 ~ Innerbetriebliche Leistungsverrechnung

=> Aufgaben und Berechnungsbeipiele
 * Einführung in die Lineare Algebra


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X.  Lineare Optimierung (LO)

=> Grundlagen und graphische Lösungsmethode
 * Ein Problem der Produktionsplanung
 * Graphische Lösung des Produktionsplanungsproblems
 * Ein Diät-Problem
 * Graphische Lösung des Diät-Problems
 * Sonderfälle bei graphischer Lösung
 * Graphische Lösung von LO-Problemen - Zusammenfassung

=> Simplexverfahren
 * Mathematisches Modell des allgemeinen LO-Problems
 * Grundidee des Simplexverfahrens
 * Einführung von Schlupfvariablen
 * Eckpunkte und Basislösungen
 * Optimalitätskriterium
 * Engpassbedingung
 * Simplexverfahren im Standard-Maximum-Fall - Zusammenfassung
 * Beispiel zum Simplexverfahren (Standard-Maximum-Problem)

=> Zweiphasenmethode zur Lösung beliebiger LO-Probleme

=> Sonderfälle bei LO-Problemen
 * Keine zulässige Lösung
 * Keine endliche optimale Lösung (unbeschränkte Lösung)
 * Degeneration (Entartung)
 * Mehrdeutige optimale Lösungen
 * Fehlen von Nichtnegativitätsbedingungen
 * Ablaufdigramm des Simplexverfahrens im allgemeinen Fall

=> Die ökonomische Interpretation des optimalen Simplextableaus
 * Produktionsplanungsproblem
 ~ Problemformulierung, Einführung von Einheiten
 ~ Optimaltableau und optimale Basislösung
 ~ Deutung der Zielfunktionskoeffizienten
 ~ Deutung der inneren Koeffizienten
 ~ Zusammenfassung
 * Diätproblem

=> Dualität
 * Das duale LO-Problem
 * Dualitätssätze

=> Ökonomische Interpretation des Dualproblems
 * Dual eines Produktionsplanungsproblems
 * Dual eines Diätproblems

=> Aufgaben und Berechnungsbeipiele
 * Lineare Optimierung (LO)


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Der zweiteilige, kostenlose Online-Brückenkurs ist für alle angehenden StudentInnen gedacht,
deren Universitätsstudium das Fach Mathematik einschließt, ....
Themen: Numerische Berechnungen, Algebra, Wurzeln und Logarithmen, Trigonometrie, Schriftliche Mathematik, ....
  Online-Mathe-Brückenkurs  (Teil 2)  -  MATH.SE
Themen: Differentialrechnung, Integralrechnung, Komplexe Zahlen, ....
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Wolfgang Knell

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" Wer etwas Großes will, der muss sich zu beschränken wissen,
wer dagegen alles will, der will in der Tat nichts und bringt es zu nichts. "
Hegel

 

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